Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập | Daohongdonvenus.com

Chia đa thức cho đa thức là một trong chủ đề quan trọng nằm trong chương trình Toán 8. Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập chia đa thức cho đa thức.

Thông qua tài liệu này các bạn lớp 8 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức để giải nhanh các bài tập Đại số 8. Chúc các bạn học tốt.

1. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc R≠ 0 có bậc bé hơn bậc của B

– Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

(A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2}

(A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}

(A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

(125x^{3} + 1) : (5x + 1)

(x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x)

Cách dẫn giải như sau

(125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1

(x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x

Hoặc (x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)

2. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức

– Phương pháp: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức 4n^{3}-4n^{2}-n+4 chia hết cho biểu thức 2n+1

Cách giải

Thực hiện phép chia 4n^{3}-4n^{2}-n+4 cho 2n+1 ta được:

4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3

Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n+1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n+1 là ước của 3, ta được:

2n+1=3Leftrightarrow n=1

2n+1=1Leftrightarrow n=0

2n+1=-3Leftrightarrow n=-2

2n+1=-1Leftrightarrow n=-1

Vây n = 1;n = 0; n = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

3. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Bài 1: Tính nhanh:

1. (4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y)

2. (27x^{3}-1) : (3x-1)

3. (8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1)

4. (x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y)

Giải

1. (4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y

2. (27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1

3.(8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)

=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)

=(

2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1

4. (x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y)

= [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y)

= (x + y)

(x-3) : (x + y) = x-3

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) left(-3 x^{3}+5 x^{2}-9 x+15right):(-3 x+5)

b) left(5 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}-4 x-8right):(x-1)

c) left(5 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8right):(x+2);

d) left(x^{4}-2 x^{3}+2 x-1right):left(x^{2}-1right).

Bài 3: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

a) left(x^{8}-2 x^{4} y^{4}+y^{8}right):left(x^{2}+y^{2}right)

b) left(64 x^{3}+27right):left(16 x^{2}-12 x+9right)

c) left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27right):left(x^{2}-6 x+9right)

d) left(x^{3} y^{6} z^{9}-1right):left(x y^{2} z^{3}-1right).

Bài 4: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:

a) left(13 x+41 x^{2}+35 x^{3}-14right):(5 x-2) ;

b) left(16 x^{2}-22 x+15-6 x^{3}+x^{4}right):left(x^{2}-2 x+3right)

c)left(6 x+2 x^{3}-5-11 x^{2}right):left(-x+2 x^{2}+1right).

Bài 5: Tìm m đề đa thức 3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+m chia hết cho đa thức 3x-1

Bài 6 Tìm số dư trong phép chia đa thức f(y)=y^{243}+y^{81}+y^{27}+y^{9}+y^{3}+y cho đa thức
g(y)=y^{2}-1