Lý thuyết + Bài tập | Daohongdonvenus

Contents

Bài tập 1. Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

Phương trình

Đặt

thì phương trình trở thành:

Do đó

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.

Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

A. m ∈ (0; +∞)

B.

C.

D. m ∈ (–∞; 0)

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m + 1) log2 x – 2 < 0  (1)

Đặt t = log2 x .Vì x ∈

nên . Do đó t ∈

(1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 <0  (2)

Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc

Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ

f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2

Khi đó cần

Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0

Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được

Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + (m – 1)․3x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ x > 1 .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A

Đặt t = 3x

Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m – 1)․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3

nghiệm đúng ∀ t > 3

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và

Yêu cầu bài toán tương

Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng (256; +∞)

A. 7

B. 10

C. 8

D. 9

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95

Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ (256; +∞)

Đặt

Yêu cầu bài toán

Xét hàm số

trên khoảng (8; +∞)

Ta có

⇒ f(t) luôn nghịch biến trên khoảng (8; +∞)

Do đó

Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.

A m ≥ 6

B m > 6

C m ≤ 6

D m < 6

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện của bất phương trình: x > 0

Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1+ log2 (5x – 1)] ≥ m (1)

Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2)

Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞).

Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì

hay m ≤ 6.

Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?

A. 6

B. 4

C. 9

D. 1

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 (*)

Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*).

Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 6

Lời giải

Chọn A

Điều kiện của bất phương trình là x > 0.

Khi đó:

Đặt t = log2 x. Ta có:

Trả lại ẩn ta có

.

Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có

hoặc hoặc x > 2

Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.

Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?

A. m ≤ 3

B. m ≥ 1

C. –1 ≤ m ≤ 4

D. m ≥ 0

Lời giải

Chọn B.

Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m(4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x

Đặt 2x = t (t > 0). Khi đó

.

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình

nghiệm đúng ∀ t > 0.

Đặt

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó

, ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1

Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ

A. m ∈ (–∞; 0]

B. m ∈ (0; +∞)

C. m ∈ (0; 1)

D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞)

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Đặt 2x = t (t > 0). Yêu cầu bài toán tương đương với

, ∀ t ∈ (0; +∞)

Đặt

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.

Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

A. m ∈ (0; +∞)

B.

C.

D. m ∈ (–∞; 0)

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: x > 0

⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m – 1) log2 x – 2 < 0  (1)

Đặt t = log2 x. Vì

nên . Do đó t ∈

(1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0  (2)

Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc

Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ

f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2

Khi đó cần

Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0

Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được

Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:

A. 12,3

B. 12

C. 12,1

D. 12,2

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 0 < x ≠ 1.

Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016

= (x3 – x2)2 + (x3 – 1)2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với

Đặt

, ta có bất phương trình

Đặt

. Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.

A. m ≥ 2

B. m ≤ 3

C. m ≤ 5

D. m ≥ 1

Lời giải

Chọn D

Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ (2x)2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0

Đặt 2x = t (t > 0)

Ta có bất phương trình tương đương với

Xét

trên (0; +∞)

Bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1.

Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).

A. m ≤ 0

B. m ≥ 0

C. m < 0

D. m > 0

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt log2 x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6)

Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t (*)

Xét hàm số f(t) = –t2 –t với t ∈ (0; 6)

Ta có f’(t) = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ (0; 6)

Ta có bảng biến thiên:

Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (*) đúng với mọi t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0.

Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞)?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định

Hàm số xác định trên [32; +∞)

Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞).

Bất phương trình có dạng:

Xét hàm số

trên [5; +∞) có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞)

Do

và f (5) = 3 nên ta có 1

Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞) khi và chỉ bất phương trình

có nghiệm duy nhất trên [5; +∞)

Khi đó:

. Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.

Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?

A. 6

B. 4

C. 9

D. 1

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 (*)

Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*).

Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.

A. m ≥ 6

B. m > 6

C. m ≤ 6

D. m < 6

Lời giải

Chọn C

Điều kiện của bất phương trình: x > 0

Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1 + log2 (5x – 1)] ≥ m (1)

Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2)

Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞)

Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì

hay m ≤ 6

Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?

A. m ≤ 3

B. m ≥ 1

C. –1 ≤ m ≤ 4

D. m ≥ 0

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m (4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x

Đặt 2x = t (Điều kiện t > 0 ).

Khi đó

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình

nghiệm đúng ∀ t > 0

Đặt

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó

, ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1

Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ

A. m ∈ (–∞; 0]

B. m ∈ (0; +∞)

C. m ∈ (0; 1)

D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞)

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với

, ∀ t ∈ (0; +∞)

Đặt

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo dục