Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi.
Contents
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
hoặc
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Để làm các bài tập về đường tiệm cận thì việc hiểu bản chất và các công thức đường tiệm cận là điều bắt buộc.
– Tiệm cận ngang
Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
hoặc
– Tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
A. 2 (đvdt)
B. 3 (đvdt)
C. 1 (đvdt)
D. 4 (đvdt)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định D = ℝ {1}
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S = 1․2 = 2 (đvdt)
A. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
B. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 4
C. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 25
D. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định
Ta có
⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của (C)
⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của (C)
⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của (C)
Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích thước 2 × 5 nên có diện tích bằng 10.
Cho hàm số:
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0
Khi đó phương trình các đường tiệm cận là
+ Tiệm cận đứng
+ Tiệm cận ngang
A. m = 1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
– m(2m – 1) – 1 ≠ 0 ⇔ 2m2 – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝ
Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m – 1 nên có 2m – 1 = 3 ⇔ m = 2
A. ℝ
B. ℝ {0}
C. ℝ {1}
D. ℝ {0; 1}
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
A. ℝ
B.
C.
D. {0}
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; -1) nên b = -1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy a + b = 0
A. 3
B. -3
C. 6
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -(a – 3)(b + 3) – (a + 2019) ≠ 0
Phương trình các đường tiệm cận là
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy a + b = 0
A. m = 4
B. m = -2
C. m = -4
D. m = 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2
Đường tiệm cận đứng là
(thỏa mãn)
A. x + 2y = 0
B. 2x + y = 0
C. x – 2y = 0
D. y = 2x
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là -2m2 – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝ
Phương trình các đường tiệm cận là x = 2x; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y
A. m > 0 và
B. m > 0
C. m > 0 và
D. m < 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -4m + 5 ≠ 0 ⇔
Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m
Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0
Vậy điều kiện cần tìm là
– Tiệm cận của đồ thị hàm số
với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n > 0
– Đồ thị hàm số
luôn có tiệm cận ngang y = 0
– Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f(x) hay f(x0) = 0
– Tiệm cận của đồ thị hàm số
với f(x), g(x) là các đa thức bậc khác 0
– Điều kiện để đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang là bậc f(x) ≤ bậc g(x)
– Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x), đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m
A. m = 8
B. m = 0
C. m ≠ 4
D. m ≠ -8
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định
Đặt g(x) = mx2 – 2x + 1
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì
không là nghiệm của g(x)
A. 6
B. 10
C. -4
D. -7
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện: x2 – 2mx + n + 6 ≠ 0
Đặt g(x) = x2 – 2mx + n + 6
Do x = 1 là nghiệm của f(x) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình
Vậy m + n = -4
A. 8
B. 9
C. 6
D. -6
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện x2 + mx + n – 6 ≠ 0
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m – n ⇒ 2m – n = 0 (1)
Đặt f(x) = (2m – n) x2 + mx +1 và g(x) = x2 + mx + n – 6
Nhận thấy f (0) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g(0) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6 . Kết hợp với (1) suy ra m = 3.
Vậy m + n = 9
A. 8
B. 9
C. 6
D. 11
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện 4x2 + bx + 9 ≠ 0
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:
⇔ b2 – 144 = 0 ⇔ b = ±12
Vì b > 0 nên b = 12
Thử lại ta có hàm số
(thỏa mãn)
Vậy
Trường hợp 2: 4x2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn ax2 + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4.
Chú ý: a, b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.
Cho hàm số vô tỷ y = f(x)
Tìm tập xác định D của hàm số.
Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn
hoặc hữu hạn.
A. 56
B. -56
C. -72
D. 72
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0
Khi đó, ta có
Vậy 2a + b3 = -56
Chú ý: Để
thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định
Ta có
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2
Xác định tiệm cận đứng:
Số tiệm cận của đồ thị hàm số
là số nghiệm của phương trình g(x) = 0
Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x) để xác định số nghiệm của phương trình g(x) để suy ra số đường tiệm cận đứng.
Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.
Tổng số đường tiệm cận của hàm số
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 ⇔ f(x) = -1
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận đứng.
Ta có
nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là
Vậy đồ thị hàm số
có bốn đường tiệm cận.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t = x3 + x , ta có khi x → -∞ thì t → -∞ và khi x → +∞ thì t → +∞
Mặt khác ta có t’ = 3x2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x3 + x = t có duy nhất một nghiệm x.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình
f(t) + 3 = 0 ⇔ f(t) = -3
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số
có một tiệm cận đứng.
Ta có
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t = 4 – x2, ta có khi x → ±∞ thì t → -∞
Khi đó
nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).
Mặt khác f (4 – x2) – 3 = 0 ⇔ f (4 – x2) = 3 ⇔
⇒ Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) tìm nghiệm của phương trình g(x) = 0 và xác định biểu thức g(x)
Rút gọn biểu thức
và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
Chú ý:
– Điều kiện tồn tại của φ(x)
– Sử dụng tính chất nếu đa thức g(x) có nghiệm là x = x0 thì g(x) = (x – x0)․g1(x), ở đó g1(x) là một đa thức.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 4
B. 6
C. 3
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện xác định
Xét phương trình
Dựa vào đồ thị ta thấy
– Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = x1 < 1 (loại) và x = 2 (nghiệm kép)
– Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = x2 ∈ (1; 2), x = x3 > 2.
Khi đó
f2(x) – f(x) = f(x) [f(x) – 1 ] = a2(x – x1)(x – 2)2(x – 1)(x – x2)(x – x3)
Suy ra
Trong đó x1 < 1, x2 ∈ (1; 2), x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g(x) có ba tiệm cận đứng là x = 2; x = x2; x = x3
Đặt
. Đồ thị hàm số y = g(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 4
B. 2
C. 5
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện xác định
Ta có
Dựa vào đồ thị ta có f(x) = 0 có hai nghiệm x = x1 < 0 và x = 1 (nghiệm kép).
Vậy biểu thức f2(x) – 2f(x) = f(x) [f(x) – 2] = a2(x – x1)(x – 1)2x(x – x2)(x – x3)
Khi đó ta có
Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện
Ta có (x – 3)(x2 – 4x + 3) = (x – 3)2(x – 1); f’(x)․[f(x) – 2] = 0
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
f’(x) = 0 có nghiệm là x = 1; x = 2 (nghiệm kép); x = 3 (nghiệm kép)
⇒ f’(x) = a(x – 1)(x – 2)2(x – 3 )2 với a > 0
f(x) = 2 có hai nghiệm
nên f(x) = (x – x1)(x – x2)․p(x) với p(x) là một đa thức bậc 4 và p(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ
Khi đó
Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có ba đường tiệm cận đứng.
Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt h(x) = 3 f(x + 2) – x3 + 3x. Điều kiện h(x) ≠ 0
Ta có h’(x) = 3 f’(x + 2) –3x2 + 3
h’(x) = 0 ⇔ f’(x + 2) = x2 – 1
Đặt t = x + 2 , ta được f’(t) = t2 -4t + 3 (*)
Vẽ đồ thị hàm số y = t2 -4t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f’(t) ta được hình vẽ sau
Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t = 1; t = 3; t = a > 4
Suy ra phương trình h’(x) = 0 có nghiệm đơn x=x-1; x= 1; x = a – 2 = b > 2
Ta có bảng biến thiên của h(x) như sau
Vì h (-1) = 3 f(1) – 2 < 0
Và h (b) = 3 f(a) – (a – 2)2 + (a – 2)3 + 3(a – 2) = 3 f(a) – a3 + 6a2 – 12a + 2 > 0
với mọi a > 4 nên phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 < -1; x = x2 ∈ (-1;1)
Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có hai tiệm cận đứng.
Điều kiện đề đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f(x) ≤ bậc g(x). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.
Điều kiện để đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng x = x0
Trường hợp 1: x = x0 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Trường hợp 2: x = x0 là nghiệm bội n của phương trình g(x) = 0, đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f(x) = 0 thì n > m.
Ta có f(x) = (x – x0)m․f1(x) với f1(x) không có nghiệm x = x0 và g(x) = (x – x0)n․g1(x) với g1(x) không có nghiệm x = x0. Khi đó
Nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
A. 6
B. 19
C. 3
D. 15
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện x2 + 2x + m2 – 3m ≠ 0
Ta có
đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0
Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 nên để đồ thị hàm số
có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.
Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2}.
Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3.
A. -5
B. 4
C. -1
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện x ≠ 1; x ≠ 2
Vì
nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi m
Ta có x2 – 3x + 2 ⇔
Xét f(x) = x2 + m. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f(x) phải nhận x = 1 hoặc x = 2 là nghiệm hay
Với m = -1, ta có hàm số
nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2; y = 1 (thỏa mãn).
Với m = -4, ta có hàm số
nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1; y = 1 (thỏa mãn).
Vậy S = {-1; -4} nên tổng các giá trị m bằng -5.
A. -12
B. 12
C. 15
D. -15
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện x2 – mx – m + 5 ≠ 0
Đặt f(x) = x2 – 3x + 2, g(x) = x2 – mx – m + 5
Ta có f(x) = 0 ⇔
là nghiệm đơn của tử thức.
Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau
– Trường hợp 1. Phương trình g(x) = 0 vô nghiệm ∆ = m2 +4m – 20 < 0 ⇔
Do m ∈ ℤ nên m ∈ {-6; -5; …; 2}
– Trường hợp 2. f(x) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệm
Thử lại, ta có
, khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại.
Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ {-6; -5; …; 2; 3} nên tổng bằng -15.
A. {-1; 0}
B. {0}
C. (-∞; -1) ∪ {0}
D. (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện
Với m = 0, hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0
Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm.
Với m ≠ 0
Ta có
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0
Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì
+ Trường hợp 1. Hai phương trình f(x) = mx2 – 2x + 1 = 0 và g(x) = 4x2 + 4mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm
⇒ vô nghiệm
+ Trường hợp 2. Phương trình (mx2 – 2x + 1)(4x2 + 4mx + 1) = 0 có nghiệm duy nhất là
. Khi đó là nghiệm của một trong hai phương trình f(x) = 0 hoặc g(x) = 0
Do m ≠ 0 nên m = -1.
Thử lại, với m = -1 thì hàm số là
Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là
không thỏa mãn.
Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ {0}
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
– Bước 2. Xác định các đường tiệm cận.
Tiệm cận ngang
+ Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các khoảng (-∞; a) hoặc (b; +∞).
+ Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn
hoặc thì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong các giới hạn
hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
A.
B. m > 0
C.
D. ∀ m ∈ ℝ
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0
Khi đó tập xác định của hàm số là
Nếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 < 0
Ta có
nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì
Kết hợp lại ta có
A. m ∈ ℝ
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện
Tập xác định D = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) {1; -m – 2}
Ta có
, ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.
Với m = – 3 thì D = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) {1}
Khi đó, ta có hàm số
Do đó
nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = -3 thỏa mãn.
Với m ≠ -3, ta có
⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Để đường x = -m – 2 là tiệm cận đứng thì
Khi đó
(tùy theo m) nên x = -m – 2 là tiệm cận đứng
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có
A. m > 1
B. 0 < m < 1
C. m = 1
D. m = -1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trường hợp 1. Với m = 0 thì hàm số là y = x + 1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm.
Trường hợp 2. Với m < 0 thì hàm số có tập xác định là
nên không tồn tại và
⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang.
Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm.
Trường hợp 3. Với m > 0 thì hàm số có tập xác định là D = ℝ
Xét
Xét
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 – m = 0 ⇔ m = 1
A. (0; +∞)
B.
C.
D.
{1}
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện mx2 – 3mx + 2 > 0 (*)
– Trường hợp 1. Với m = 0 , ta có
nên đồ thị không có đường tiệm cận.
Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm.
– Trường hợp 2. Với m < 0.
Phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 có ∆ = 9m2 – 8m > 0, ∀ m < 0 nên mx2 – 3mx + 2 > 0 ⇔ x ∈ [x1; x2] (với x1, x2 là là hai nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng.
Nếu ∆ ≤ 0 thì hàm số có tập xác định là D = ∅
Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm.
– Trường hợp 3. Với m > 0.
Xét phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0
Nếu ∆ = 9m2 – 8m < 0 ⇔
. Hàm số xác định trên ℝ.
Khi đó mx2 – 3mx + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận ngang là
vì
Nếu ∆ = 9m2 – 8m = 0 ⇔
.
Khi đó, hàm số trở thành
nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Nếu ∆ = 9m2 – 8m > 0 ⇔
.
Hàm số xác định trên các khoảng (-∞; x1) và (x2; +∞).
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
.
Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng.
Vì x = 1 là nghiệm của tử f(x) = x – 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 ⇔ m – 3m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Vậy giá trị của m cần tìm là
.
Nếu x = 1 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 do phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g(x) = 0 có một nghiệm nữa x = a ≠ 1 thì g(x) = m(x – 1)(x – a). Khi đó hàm số có dạng nên chỉ có một tiệm cận
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện
Đặt f(x) = x2 – (1 – m) x + 2m
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≥ -1
– Trường hợp 1. f(x) có nghiệm x = -1 ⇔ f (-1) = 0 ⇔ m = -2
Khi đó hàm số có dạng
có tập xác định là D = (4; +∞) nên chỉ có một tiệm cận đứng.
– Trường hợp 2. f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > -1 ⇔
Do m ∈ ℤ nên m = -1; m = 0
Đồ thị hàm số
có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện f(x) ≠ m
Để đồ thị hàm số
có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = m phải có nghiệm.
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là
với -1
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau
Suy ra phương trình y = f(x) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số
có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g(x) có hai tiệm cận đứng?
A. 2
B. 11
C. 71
D. 2019
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra h’(x) = m(x + 1)(4x – 5)(x – 3) = m(4x3 – 13x2 – 2x + 15) và m < 0
Nên
do h (0) = 0
Đồ thị g(x) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h(x) = m2 + m có hai nghiệm phân biệt
⇔
có hai nghiệm phân biệt.
Đặt
Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau
Vì m < 0 nên
Vậy có 11 số nguyên m.
Đồ thị hàm số
(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi
A. m < f (3)
B. f (3) < m < f (-1)
C. m > f (-1)
D. f (3) ≤ m ≤ f (-1)
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện f(x) ≠ m
Từ đồ thị hàm số f’(x), ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là
Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận.
Nếu m ≠ 20 thì
⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f (-1) < 20
Suy ra đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a ⇔ f (3) < m < f (-1)
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện
Do
nên khi x → +∞ thì 2f(x) – f2(x) → -∞ vì vậy không có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại
.
Xét
.
Vì
nên ;
Từ đó
với m ≠ 1
Khi đó đồ thị hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng
Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = -1 thì
Vì m ∈ ℤ nên m = 0.
Đồ thị hàm số
có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0
Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là
Phương trình đường tiệm cận ngang là
Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm
và cũng là tâm đối xứng của đồ thị.
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các kích thước là
nên có chu vi là và diện tích là
.
A. m = -2
B. m = 2
C.
D. m = -1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có ad – bc = m2 + 2 ≠ 0, ∀ m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =
Để tiệm cận đứng đi qua điểm
thì = -1 ⇔ m = 2
A. 3 (đvdt)
B. 6 (đvdt)
C. 1 (đvdt)
D. 2 (đvdt)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Phương trình các đường tiệm cận là x = 1; y = 2
Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1․2 = 2 (đvdt).
A. m ≠ ±2
B. m = 2
C.
D. m = ±4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -2m – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2m
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = |2m|
Theo giả thiết thì |2m| = 8 ⇔ m = ±4
A. a = 6
B. a = 4
C. a = 3
D. a = 1
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận là x = -1 và y = 2
Điều kiện để đồ thị hàm số
có tiệm cận là 2a – 1 ≠ 0 ⇔
Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số g(x) có hai đường tiệm cận là x = -2 và y = a
Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và |a – 2|.
Theo giả thiết, ta có |a – 2|․1 = 4 ⇔
Vì a > 0 nên a = 6.
A. -1
B. -3
C. -2
D. -4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có tọa độ điểm I(1;1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*).
Khi đó A(x1; 2x1 + b), B(x2; 2x2 + b)
Ta có
Diện tích tam giác IAB là
Theo giả thiết thì
Do b < 0 nên b = -4
Chú ý:
Với tam giác ABC có
thì
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì
A. 5
B. 8
C. 2
D. -1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường tròn (C1) có tâm I1(1; 2); R1 = 1 và (C2) có tâm I2(-1; 0); R2 = 1
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac – b ≠ 0
Gọi (C) là đồ thị hàm số
Khi đó ta có các đường tiệm cận (C) là x = -c và y = a
Ta có I1, I2 ∈ (C)
Đường thẳng x = -c tiếp xúc với cả (C1) và (C2) nên
⇒ a = b = 1
Khi đó tiệm cận ngang của (C) là y = 1 tiếp xúc cới cả (C1) và (C2) thỏa mãn bài toán.
Vậy a = b = 1; c = 0 ⇒ a +b + c = 2
Giả sử đồ thị hàm số
có các đường tiệm cận là
Gọi
là điểm bất kì trên đồ thị
Khi đó
và
Vậy ta luôn có
là một số không đổi
Khi đó
nên khi d1 = d2
Ví dụ: Xét hàm số
có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là
A. 4
B. 2
C. 8
D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Áp dụng công thức, ta có
A. 10
B. 6
C. 2
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Áp dụng công thức, ta có
Khi đó
Vậy dmin = 2
A. 5
B.
C.
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Giả sử
(x0 > 0; x0 ≠ 3)
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ∆1: x = 3 , tiệm cận ngang ∆2: y = 3 và tâm đối xứng I(3; 3)
Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 – 3| và d2 = d(M; ∆2) =
Theo giả thiết
Vậy M (7; 5) ⇒ IM =
A. 4
B. 0
C. 9
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đồ thị (H) có tiệm cận ∆1: x = -1 , tiệm cận ngang ∆2: y = 4
Gọi
, x0 ≠ -1, x0
Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 + 1| và d2 = d(M; ∆2) =
⇒ d1․d2 = 9
Ta có
nên min(d1 + d2) = 6 khi
Do x0 < 0 nên M(-4; 7) ⇒ S = 9
Giả sử đồ thị hàm số
có đồ thị (C) có các đường tiệm cận là và
Gọi
là điểm bất kỳ trên đồ thị
Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M là
Gọi A = d ∩ ∆1
B = d ∩ ∆2
Do đó
là một số không đổi
Do △IAB vuông tại I nên
là một số không đổi
Ngoài ra, ta có
nên M luôn là trung điểm của AB.
Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau
Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB.
Câu 2: Tìm điểm M ∈ (C) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có
Cạnh huyền nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Chu vi nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì α = (d; ∆2) = (d; Ox) = 45° nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 45° = ±1.
Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = -1.
A. 4
B.
C.
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng công thức, ta có
A.
B. 1
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ (C) bất kỳ với hai đường tiệm cận.
Khi đó ta có
Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có
Vậy IHmax =
A. (28; 29)
B. (29; 30)
C. (27; 28)
D. (26; 27)
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ±1.
Do y’ < 0, ∀ x nên k = -1.
Xét phương trình
Với
⇒ Tiếp tuyến ∆1:
Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm
và
Với
⇒ Tiếp tuyến ∆1:
Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm
và
A. 4
B. 9
C. 0
D. 10
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện m – 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆: x = -2 và tiệm cận ngang ∆’: y = 1
Ta có
và
Phương trình đường thẳng d là
Do đó x2 + y1 = -5
Vậy S = (-3)2 + 12 = 10
Bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số xuất hiện nhiều trong các đề thi toán lớp 12 và kỳ thi THPTQG. Để giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu tham khảo chất lượng, chúng tôi đã tổng hợp lại một số tài liệu hay về chuyên đề này. Mỗi tài liệu đều có đáp án và phân dạng rõ ràng.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Bảo Vương |
Số trang | 42 |
Lời giải chi tiết | có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên
– Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước
– Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước
– Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g[f(x)] khi biết bảng biến thiên hàm số f(x)
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Vương |
Số trang | 38 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết tiệm cận đứng tiệm cận ngang
– Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên và đồ thị.
– Dạng 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số thông qua hàm số
– Dạng 3: Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước
– Phần lời giải cho 3 dạng bài tập.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | CLB Giáo Viên Trẻ TP Huế |
Số trang | 57 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số
– Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết về đường tiệm cận của hàm số
– Dạng 2: Xác định đường tiệm cận của hàm số
– Dạng 3: Bài toán tham số liên quan đến tiệm cận
– Dạng 4: Tiệm cận của đồ thị hàm ẩn
– Dạng 5: Các bài toán khác về đường tiệm cận của hàm số
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Phạm Hoàng Điệp |
Số trang | 17 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
– Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
– Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
– Bài tập tự luận.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | |
Số trang | 35 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa
– Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức
– Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
– Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ
– Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số y = A / g(x) với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x).
– Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x) , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số y = h(x) / g(x) với h(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)
– Dạng 7: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y = f(x) / g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức.
– Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức
– Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn
– Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d)
– Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d) đến các đường tiệm cận
– Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d)
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | |
Số trang | 95 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số.
Dạng 2: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x), trong bài toán không chứa tham số.
Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x), trong bài toán chứa tham số.
Dạng 5: Biết BBT của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số.
Dạng 6: Biết BBT của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng 7: Biết BBT của hàm số y = f(x) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x) trong bài toán không chứa tham số.
Dạng 8: Biết BBT của hàm số y = f(x) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng 9: Biết giới hạn của hàm số y = f(x) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số.
Dạng 10: Biết giới hạn của hàm số y = f(x) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số.
Dạng 11: Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f’(x) tìm tiệm cận của hàm số y = g(x).
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Đặng Việt Đông |
Số trang | 29 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Kiến thức chung
– Dạng 1: Bài toán không chứa tham số
– Dạng 2: Các bài toán chứa tham số
BÀI HỌC TIẾP THEO
– Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
– Công thức logarit
– Công thức nguyên hàm
– Tích phân
– Số phức
Là một cử nhân tài chính nhưng lại đam mê viết lách, năm 2019 tôi thành lập website VerbaLearn để phân tích các kiến thức về tài chính, marketing và các phương pháp kiếm tiền online. Mong những kinh nghiệm từ bản thân tôi sẽ giúp đỡ bạn trên hành trình tự do tài chính.