Tính đơn điệu của hàm số (tính tăng giảm) là một trong những tính chất quan trọng của hàm số. Xem ngay các định nghĩa, định lý về tính đơn điệu của hàm số trong bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc hơn trong việc khảo sát hàm số, thuộc chương trình toán lớp 12. Kiến thức đóng vai trò quan trọng trong các kì thì trên trường cũng như ôn thi THPT quốc gia.
Các dạng bài tập
Contents
Thông thường để xác định tính đơn điệu của hàm số người ta thường tính đạo hàm của nó. Nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, trong trường hợp đạo hàm âm trên khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến. Kiến thức trên dựa vào các điểm lý thuyết sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K .
c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Xem thêm lý thuyết
Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề rộng. Trong chủ đề này, các đề thi có thể khai thác được những câu hỏi mức vận dụng về tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì và cũng có thể khai thác được các câu hỏi khó về biện luận m thỏa mãn điều kiện cho trước. Dưới đây, chúng ta cùng tìm hiểu 7 dạng toán phổ biến nhất trong chuyên đề này. Nhưng trước hết bạn cần phải hiểu bản chất về tính đồng biến nghịch biến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x)
+) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+) f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.
+) Lập bảng xét dấu f’(x).
+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
a. y = x³ – 3x² + 2
b. y = -x³ + 3x² -3x + 2
c. y = x³ + 2x
Hướng dẫn giải:
a. y = x³ – 3x² + 2.
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
Ta có: y’ = 3x² – 6x, cho y’ = 0 ⇒ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
– Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞).
– Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) ∪ (2;+∞)”
b. y = -x³ + 3x² -3x + 2
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
Ta có: y’ = -3x² + 6x – 3, cho y’ = 0 ⇒ -3x² + 6x – 3 = 0 ⇔ x = 1 (nghiệm kép)
⇒ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định R
c. y = x³ + 2x
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = 3x² + 2, cho y’ = 0 ⇒ 3x² + 2 = 0 (vô nghiệm)
⇒ y’ > 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R
a. y = x⁴ – 2x² + 1
b. y = -x⁴ + x² – 2
c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1
Hướng dẫn giải:
a. y = x⁴ – 2x² + 1
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1), cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
b. y = -x⁴ + x² – 2
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)
Cho y’ = 0 ⇒ 2x (-2x² + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
– Hàm số đồng biến trên các khoảng:
– Hàm số nghịch biến trên các khoảng:
c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1
Hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = x³ + 4x = x (x² + 4), cho y’ = 0 ⇒ x (x² + 4) = 0 ⇔ x = 0 (do x² + 4 vô nghiệm)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
» Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị “đi lên” hoặc “đi xuống”.
» Nếu đề bài cho đồ thị y = f’(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-1;0)
B. (-∞;0)
C. (1;+∞)
D. (0;1)
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (-∞;-1)
Tính
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad − cb > 0.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ < 0 ⇔ ad − cb < 0.
A. 2
B. 6
C. Vô số
D. 1
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D = (-∞;-3m) ∪ (-3m; +∞)
Ta có
Hàm số đổng biến trên khoảng
Mà m nguyên nên m ∊ {1; 2}
A. 0
B. 6
C. 3
D. Vô số
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D = ℝ{-3m};
Hàm số
nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi:
Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0}
Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔
hoặc suy biến
Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔
hoặc suy biến
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1. Ta có: y = – x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1. Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TXĐ: D = ℝ
y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên (-∞;+∞) khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞;+∞)
⇒ Có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0 với ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).
Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
Với
ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0.
Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-3; -2; -1; 0}.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Để tìm hiểu chi tiết dạng toán này. Chúng ta có thể xem xét các ví dụ dưới đây:
A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2
B. m ≤ 0
C. 1 ≤ m < 2
D. m ≥ 2
Lời giải
Chọn A
Đặt t = tan x , vì x ∊
⇒ t ∊ {0; 1}
Xét hàm số
. Tập xác định: D = ℝ{m}
Ta có
Ta thấy hàm số t(x) = tan x đồng biến trên khoảng
. Nên để hàm số đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi: f’(t) > 0, ∀ t ∊ {0; 1}
A.
B.
C. m ≤ 3
D. m < 3
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: cos x ≠ m. Ta có:
Vì x ∊
⇒ sin x > 0, (cos x – m)2 > 0, ∀ x ∊ ; cos x ≠ m
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
⇔ y’
Chú ý: Tập giá trị của hàm số y = cos x, ∀ x ∊
là (-1; 0)
» Loại 1: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f(x).
» Loại 2: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f(u).
Tính y’ = u’ ‧ f’(u);
Giải phương trình f’(u) = 0
(Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm);
Lập bảng biến thiên của y = f(u), suy ra kết quả tương ứng.
» Loại 3: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).
A. (2;+∞)
B. (-2; 1)
C. (-∞; -2)
D. (1; 3)
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Ta thấy f’(x) < 0 với
nên f(x) nghịch biến trên (1; 4) và (-∞; -1) suy ra g(x) = f(-x) đồng biến trên (-4; -1) và (1; +∞). Khi đó f (2 – x) đồng biến trên khoảng (-2; 1) và (3; +∞)
Cách 2:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có f’(x) < 0
Ta có (f (2 – x))’ = (2 – x)’. f’(2 – x) = – f’(2 – x)
Để hàm số y = f (2 – x) đồng biến thì (f (2 – x))’ > 0 ⇔ f’(2 – x) < 0
Hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (3; 4)
B. (1; 3)
C. (-∞; -3)
D. (4; 5)
Lời giải
Chọn D
Ta có y’ = f’(5 – 2x) = -2f’(5 – 2x)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng (4; 5)
Đồng biến trên
hoặc suy biến
Nghịch biến trên ℝ thì
hoặc suy biến
Ta thường gặp hai trường hợp:
– Nếu phương trình y’ = 0 giải được nghiệm “đẹp”: Ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.
– Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “xấu” : Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau
Giải phương trình y’ = 0, tìm nghiệm.
Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.
A. 4
B. Vô số
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn D
D = ℝ {m};
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0, ∀ x ∊ D ⇔ m2 – 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4
Mà m ∊ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn.
A. Vô số
B. 4
C. 5
D. 3
Lời giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ {-5m}
Hàm số nghịch biến trên (10; +∞) khi và chỉ khi
Mà m ∊ ℤ nên m ∊ {-2; -1; 0; 1}
Bộ tài liệu hay nhất về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bao gồm: Lý thuyết, ví dụ và các bài tập vận dụng được tuyển chọn. Bạn nên xem kĩ tài liệu nào hay trước khi tải về và sử dụng để giúp quá trình học tập đạt được hiệu quả cao nhất.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Phùng Hoàng Em |
Số trang | 17 |
Lời giải chi tiết | Không |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: Ứng dụng đạo hàm tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước
– Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước
– Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên R
– Dạng 4: Tìm m để hàm số phân thức đơn điệu trên khoảng xác định
– Dạng 5: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x)
– Dạng 6: Biện luận đơn điệu hàm đa thức trên khoảng
– Dạng 7: Biện luận đơn điệu của hàm phân thức
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Bảo Vương |
Số trang | 59 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị
– Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước
– Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
– Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
– Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
– Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
– Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị hàm số f’(x)
– Dạng 8. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Đặng Việt Đông |
Số trang | 53 |
Lời giải chi tiết | Lời giải ngắn gọn |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến của hàm số
– Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
– Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số
– Các bài tập ví dụ có lời giải
Tính đơn điệu của hàm số ẩn cho bởi f'(x) | |
Tác giả | Thầy Quảng Thuận |
Số trang | 46 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Kiến thức về tính đồng biến nghịch biến của hàm số
– Tính chất tổng hiệu liên quan với tính đồng biến
– Bài tập mẫu
– Bài tập tương tự và phát triển
Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối | |
Tác giả | Nhóm toán VD – VDC |
Số trang | 49 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho trước là hàm số dạng đa thức đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước
– Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
– Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
– Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
– Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
– Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Lê Hải Trung |
Số trang | 25 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
– Ví dụ minh họa
– Bài tập luyện tập trắc nghiệm
– Đáp án trắc nghiệm
Trên đây là bài viết chi tiết về chủ đề tính đơn điệu của hàm số. Để thuần thục được dạng toán này, các bạn cần nắm vững các định lý, định nghĩ về tính đơn điệu, tính đạo hàm và quy tắc xét dấu cùng cách giải bất phương trình cơ bản.
Là một cử nhân tài chính nhưng lại đam mê viết lách, năm 2019 tôi thành lập website VerbaLearn để phân tích các kiến thức về tài chính, marketing và các phương pháp kiếm tiền online. Mong những kinh nghiệm từ bản thân tôi sẽ giúp đỡ bạn trên hành trình tự do tài chính.