Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Kèm tài liệu) | Daohongdonvenus

Phương trình tiếp tuyến là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 12. Có khá nhiều dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số như: PTTT tại một điểm, đi qua một điểm, khi biết hệ số góc,… Để làm tốt các dạng bài tập trên, chúng ta cùng nhau tìm hiểu 10 dạng toán phổ biến nhất để có thể chinh phục phần kiến thức này.

Contents

Lý thuyết về tiếp tuyến của hàm số

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm tại điểm x0. Ta nói rằng hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm M (x0; y0) nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. → (C) và (C’) có tiếp tuyến chung tại M.

Lý thuyết về tiếp tuyến của hàm số

Điều kiện tiếp xúc:

Hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) tiếp xúc với nhau ⇔ Hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

Phương trình tiếp tuyến

Phân dạng và phương pháp giải bài tập tiếp tuyến

Dạng 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong

Phương pháp giải

Cho hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x). Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc nhau là hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm x = x0 của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai đường cong (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm.

Bài tập

Bài tập 1: Đồ thị hàm số y = x3 + x + 1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây?

A. y = x + 1

B. y = -2x + 1

C. y = -x + 1

D. y = 2x + 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) là hệ phương trình

có nghiệm.

Ta có y’ = 3x2 + 1 > 0, ∀ x ∊ ℝ nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A, y = x + 1. Ta có hệ

.

Vậy đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập 2: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số .

A. {7; -1}

B. {-1}

C. {6}

D. {6; -1}

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số H3 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Vậy m ∊ {-1; 7} thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).

Bài tập 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m dể đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 – 4mx2 + 7mx – 3m tiếp xúc với parabol (P): y = x2 – x + 1. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A.

B.

C.

D. -4

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Để (Cm) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải (1), ta có (1) ⇔ (x – 1) (x2 – 4mx + 3m + 1) = 0

.

Với x = 1 thay vào (2) được m = 2

Xét hệ

.

Nếu

thì (4) vô nghiệm.

Nếu

thì (4) ⇔ .

Thay

vào (3) ta được .

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy

nên tổng các phần tử trong S bằng .

Bài tập 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số    tiếp xúc với đường thẳng y = 1. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 10

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Xét hệ phương trình

Giải phương trình (2) ta được

.

Với x = m, thay vào (1) ta được

.

Với x = 2, thay vào (1), ta được

.

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để dồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y – 1 là

nên tổng các phần tử trong S bằng .

Bài tập 5: Biết đồ thị hàm số (C): y = x3 + ax2 + bx + c (a, b, c ∊ ℝ), tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x = 1 tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng

A. 4

B. 2

C. 6

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x = 0 là nghiệm của hệ phương trình

Mặt khác (C) đi qua điểm A (1; 3) nên a + b + c + 1 = 3 ⇒ a = 2.

Vậy a + 2b + 3c = 2.

Bài tập 6: Họ parabol (Pm): y = mx2 – 2 (m – 3) x + m – 2 (m ≠ 0) luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới dây?

A. A(1; -8)

B. B(0; -2)

C. C(0; 2)

D. D(1; 8)

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: y = mx2 – 2(m – 3) x + m – 2 = m(x2 – 2x + 1) + 6x – 2

⇔ y = m(x – 1)2 + 6x – 2.

Xét đường thẳng d: y = 6x – 2 thì hệ phương trình

luôn có nghiệm x = 1 với mọi x ≠ 0.

Vậy (Pm) luôn tiếp xúc với đường thẳng d: y = 6x – 2.

Đường thẳng d đi qua điểm B (0; -2).

Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số (Pm) theo dạng y = (ax + b)2 + cx + d thì (Pm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = cx + d.

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x0; y0)

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

– Bước 1: Tính y’ = f’(x) và f’(x0).

– Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = f’(x0) (x – x0) + y0

– Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài toán. Kết luận.

Chú ý:

– Nếu bài toán chỉ cho x0 thì ta cần tìm y0 = f(x0) và f’(x0).

– Nếu bài toán chỉ cho y0 thì ta cần tìm x0 bằng cách giải phương trình f(x) = y0.

– Giá trị f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x0; y0).

Bài tập

Bài tập 1: Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số (C): có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng

A.

(đvdt)

B.

(đvdt)

C.

(đvdt)

D.

(đvdt)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có M (2; 5) ∊ (C);

; y’ (2) = -3.

Phương trình tiếp tuyến tại M (2; 5) là d: y = -3x + 11.

Khi đó d cắt Ox, Oy tại

và B (0; 11) ⇒ ; OB = 11.

Vậy

(đvdt)

Bài tập 2: Cho hàm số . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A (1; -2) song song với đường thẳng d: 3x + y – 4 = 0. Khi đó giá trị của a – 3b bằng

A. 5

B. 4

C. -1

D. -2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x + y – 4 = 0 ⇔ y = -3x + 4 nên

.

Mặt khác A (1; -2) thuộc đồ thị hàm số

.

Khi đó ta có hệ

.

Với a = 2 ⇒ b = -1 ⇒ ab = -2 (loại)

Với a = 1 ⇒ b = 1 (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó ta có hàm số

.

nên phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 1 song song với đường thẳng y = -3x + 4

Vậy a – 3b = -2.

Bài tập 3: Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = -x3 – 3x2 + 3x + 1 thì đường thẳng d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. y = 6x + 2

B. y = 2x + 2

C. y = 1

D. y = 3x + 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có y’ = -3x2 – 6x + 3

Gọi M (x0; y0) thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0; y0) là

.

⇒ kmax = 6 ⇔ x0 = -1 hay M (-1; -4).

Phương trình đường thẳng d là y = 6 (x + 1) – 4 ⇔ y = 6x + 2.

Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y =ax3 + bx2 + cx + d thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị U (x0; f(x0)), với x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0.

– Nếu a > 0 thì hệ số góc k = f’(x0) là nhỏ nhất.

– Nếu a < 0 thì hệ số góc k = f’(x0) là lớn nhất.

Bài tập 4: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1) x + 2m có đồ thị (Cm). Giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3x + 10 là

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 0

D. không tồn tại m

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Có y’ = 3x2 – 4x + m – 1 ⇒ y’ (1) = m – 2.

Tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình là

y = (m – 2) (x – 1) + 3m – 2 ⇔ y = (m – 2) x + 2m

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 10 nên

(vô lí)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hàm số f(x) = x3 + mx2 + x + 1. Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hoành dộ x = 1. Tất cả các giá trị của tham số m để thỏa mãn k. f (-1) < 0 là

A. m ≤ -2

B. -2 < m < 1

C. m ≥ 2

D. m > 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: f’(x) = 3x2 + 2mx + 1 ⇒ k = f’ (1) = 4 + 2m.

Do đó k. f (-1) = (4 + 2m) (m – 1)

Để k. f (-1) < 0 thì (4 + 2m) (m – 1) < 0 ⇔ -2 < m < 1.

Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1, với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi m = m0 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = -1 đi qua A (1; 3). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. -2 < m0 < -1

B. -1 < m0 < 0

C. 0 < m0 < 1

D. 1 < m0 < 2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A (1; 3) khi m = m0

Ta có y’ = 3x2 + 6mx + m + 1.

Với x0 = -1 thì y0 = 2m – 1 ⇒ B (-1; 2m – 1) và y’ (-1) = -5m + 4.

Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là y = (-5m + 4) (x + 1) + 2m – 1.

Do tiếp tuyến đi qua A (1; 3) nên 2 (-5m + 4) + 2m – 1 = 3 ⇔

.

Vậy

.

Bài tập 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

A. y = -8

B. y = -64

C. y = -12

D. y = -9

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Giả sử

là một điểm thuộc (C).

Do d (M; Ox) = 2d (M; Oy) nên

.

Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a = 4 ⇒ M (4; -8).

Khi đó

.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8.

Bài tập 8: Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2x + m – 1 (m là tham số thực). Gọi k1, k2 là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích k1. k2 bằng

A. 4

B.

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Tập xác định D = ℝ {-2}.

Ta có

.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)

(Với x ≠ -2)

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A (x1; y1) và B (x2; y2), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét ta có

Ta có

=

Bài tập 9: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn (y): x2 + (y – 1) = 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (y): x2 + (y – 1) = 4 có tâm I (0; 1), R = 2.

Ta có A (1; 1 – m); y’ = 4x3 – 4mx ⇒ y’ (1) = 4 – 4m.

Suy ra phương trình tiếp tuyến ∆: y = (4 – 4m) (x – 1) + 1 – m.

Dễ thấy ∆ luôn đi qua điểm cố định

và điểm F nằm trong đường tròn (y).

Giả sử ∆ cắt (y) tại M, N, khi đó

.

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x0; y0)

Do đó MN nhỏ nhất ⇔ d (I; ∆) lớn nhất ⇔ d (I; ∆) = IF ⇒ ∆ ⊥ IF.

Khi đó đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương

nên .

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, …

Phương pháp giải

Thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1

– Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán.

– Bước 2. Giải phương trình f’(x) = k để tìm x = xo là hoành độ của tiếp điểm.

Tính yo = f(xo) ⇒ M (xo; y0).

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k (x – x0) + y0

Điểm M (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.

Cách 2

– Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán.

– Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + b. Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với (C) ta tìm giá trị của b.

Lưu ý:

Phương trình f’(x) = k có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp điểm.

Một số trường hợp xác định hệ số góc của đường thẳng thường gặp.

Cho hai đường thẳng

d1: y = k1x + b1; d2: y = k2x + b2.

Trường hợp 1: d1 ⊥ d2 ⇔ k1. k2 = -1.

Trường hợp 2: d1 // d2

.

Trường hợp 3: Góc (d1; d2) = ∝ ⇒

.

Đặc biệt

Nếu góc giữa d: y = kx + b với Ox bằng ⍺ (Oo < ∝ < 90o) thì |k| = tan ⍺.

Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OB = m. OA thì |k| = tan ⍺ =

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, …

Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A (x1; y1) và B (x2; y2) thì

.

Bài tập

Bài tập 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 song song với trục Ox là

A. y = 3, y = -1

B. y = 3, y = -2

C. x = 3, x = -1

D. y = 2, y = -1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình y = y0 với y0 là giá trị cực trị của hàm số đã cho.

Ta có y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ±1.

Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A (1; -1), và B (-1; 3).

Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y = -1; y = 3.

Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn OA = 4OB là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OA = 4OB.

Khi đó ∆OAB vuông tại O và ta có

.

Ta có

Xét phương trình

(vô nghiệm).

Xét phương trình

.

Với x = 3 thì

. Phương trình tiếp tuyến là

.

Với x = -1 thì

. Phương trình tiếp tuyến là

.

Bài tập 3: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

A. y = x + 2

B. y = x – 2

C. y = -x + 2

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.

Vì ∆OAB vuông cân tại O nên OA = OB.

Do đó

.

Ta có

.

Xét phương trình

(vô nghiệm).

Xét phương trình

.

Với x = -1 thì y = 1. Phương trình tiếp tuyến là y = (x + 1) + 1 = x + 2.

Với x = -3 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = (x + 3) + 3 = x + 6.

Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị là (Cm). Tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 là

A. m < 12 hoặc

B. m < 0 hoặc m > 1

C. m < 0 hoặc

D. m < 0 hoặc

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: d: x + 2y – 3 = 0 ⇔

nên hệ số góc của d là .

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì

.

Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (Cm) thì x0 là nghệm của phương trình

y’ = k ⇔ mx2 + 2 (m – 1) x + 4 – 3m = 2.

⇔ mx2 + 2 (m – 1) x + 2 – 3m= 0 (*)

Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.

Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì (*) ⇔ –2x = -2 ⇔ x = 1 (loại).

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0. Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm x = 1 và

.

Do đó để (*) có một nghiệm âm thì

⇔ m .

Bài tập 5: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + 2 tại điểm A (-1; 1) vuông góc với đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Giá trị a2 – b2 bằng

A. 13

B. -2

C. -5

D. 10

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: d: x – 2y + 3 = 0 ⇔

nên .

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng -2.

Ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b)

Vì điểm A (-1; 1) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên x = -1 là nghiệm của phương trình

2x (2ax2 + b) = -2 ⇒ -2 (2a + b) = -2 ⇔ 2a + b = 1.

Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên a + b + 2 = 1 ⇔ a + b = -1.

Vậy ta có hệ

.

Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1 có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng d: y = -x + 1 một góc ⍺ thỏa mãn

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

Ta có

.

Vì d có hệ số góc bằng -1 nên

.

Ta có y’ = 3x2 – 6x – 9.

Trường hợp 1: k = – 9 ⇔ x2 – 2x = 0 ⇔

.

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến y = -9x + 1 và y = -9x – 3.

Trường hợp 2:

.

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.

Bài tập 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M (x1; y1); N (x2; y2) (M, N khác A) thỏa mãn    y1 – y2 = 3 (x1 – x2)

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Do tiếp tuyến đi qua hai điểm M (x1; y1); N (x2; y2) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

.

Ta có

.

Xét phương trình

.

Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt đực đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn).

Khi đó phương trình y’ = 0 ⇔ x3 – 7x = 0 ⇔

.

Do đó hai điểm cực tiểu là

nên hoành độ của tiếp điểm .

Vậy chỉ có x0 = -1; x0 = -2 thỏa mãn.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết mối quan hệ của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Với hàm số

(với c ≠ 0; ad – cd ≠ 0) thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận là .

Gọi

là giao điểm của hai đường tiệm cận (và cũng là tâm đối xứng của đồ thị).

Khi đó tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0) bất kì của đồ thị tiệm cận đứng tại điểm

và cắt tiệm cận ngang tại điểm .

Ta có

là hằng số không đổi.

Suy ra

.

Khi đó các bài toán sau là tương đương:

Tìm điểm M ∊ (C) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông có

Cạnh huyền nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.

Chu vi nhỏ nhất

Ta có

Dấu bằng xảy ra IA = IB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

Ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.

Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Ta có

Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng

.

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.

Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên ∆IAB vuông cân tại I.

Gọi ⍺ là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì ⍺ = (d; ∆2) = (d; Ox) = 450 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 450 = ±1.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau?

A. Không tồn tại cặp điểm đó

B. Vô số số cặp điểm

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử

với a ≠ b; a, b ≠ 1.

Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên y’(a) = y’(b) ⇔

Do a ≠ b nên chỉ có a + b = 2. Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn.

Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số

mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau thì A, B đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I.

Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng

A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I là giao điểm của hai tiệm cận.

Theo lý thuyết đã nếu thì

.

Bài tập 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M (a; b) ∊ (C), a > 0 tạo với hai tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . Giá trị của a + 2b bằng

A. 2

B. 4

C. 8

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do ∆IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB là

.

Theo lý thuyết, ta có

.

Dấu “=” xảy ra khi IA = IB. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = ±1.

Mặt khác

.

Ta có

. Do a > 0 ⇒ a = 2 ⇒ b = 3. Vậy a + 2b = 8.

Bài tập 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số , m là tham số khác -4 và d là một tiếp tuyến của (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng -2, tổng giá trị các phần tử S bằng

A. -11

B. 8

C. 3

D. -8

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm cận.

Theo lý thuyết, ta có

Vậy ta có

⇒ S = {-5; -3} nên tổng các phần tử của S bằng -8.

Bài tập 5: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0), x0 <0 thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ I (-1; 1) đến A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị x0. y0 bằng

A. -1

B. 0

C. -2

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi A, B là giao điểm của A với hai đường tiệm cận.

Theo lý thuyết d (I; ∆) lớn nhất khi IA = IB ⇒ k = ±1.

Mặt khác

.

Vậy

.

Do x0 < 0 ⇒ x0 = -2 ⇒ y0 = 0 ⇒ x0. y0 = 0.

Bài tập 6: Cho hàm số có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất là

A. ∆: y = -x – 1 và ∆: y = -x + 17

B. ∆: y = -x – 1 và ∆: y = -x + 7

C. ∆: y = -x – 21 và ∆: y = -x + 7

D. ∆: y = -x – 3 và ∆: y = -x + 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0) ∊ (C) với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó ∆IAB vuông tại I.

Theo lý thuyết, chu vi ∆IAB là

Do đó chu vi nhỏ nhất bằng

Mặt khác

.

Vậy ta có

.

Với x0 = 3 thì y0 = 4. Do đó phương trình tiếp tuyến là y = – (x – 3) + 4 = -x + 7

Với x0 = -1 thì y0 = 0. Do đó phương trình tiếp tuyến là y = – (x + 1) = -x – 1

Bài tập 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết I (1; 2). Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0) ∊ (C) với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó ∆IAB vuông tại I.

Theo lý thuyết, ta có

.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp ∆IAB lớn nhất xảy ra khi

Bài tập 8: Cho hàm số có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi

là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hay truc Ox, Oy.

Tọa độ các điểm A, B lần lượt là

.

Vậy

.

Với

Với

Bài tập 9: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi M (x0; y0), x0 > 0 là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho SOIB = 8 SOIA (I là giao hai đường tiệm cận). Giá trị biểu thức S = x0 – 4y0 bằng

A.

B. -2

C. 2

D.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết mối quan hệ của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Do góc

nên .

nên .

Mặt khác

.

.

Do x0 > 0 nên x0 = 3 ⇒

.

Bài tập 10: Cho hàm số có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm cạn đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc bằng với I (2; 2) là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

Giả sử M (x0; y0) ∊ (C) thì

.

Xét phương trình

.

Với x0 = 0 thì

. Phương trình tiếp tuyến là .

Với x0 = 4 thì

. Phương trình tiếp tuyến là .

Dạng 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M (x0; y0) cho trước.

Phương pháp giải

Thực hiện một trog hai cách sau

Cách 1

– Bước 1. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng y = k (x – x0) + y0.

– Bước 2. Tìm k là nghiệm của hệ phương trình

Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến.

Cách 2

– Bước 1. Giả sử A (a; f(a)) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho nên phương trình tiếp tuyến tại điểm A là y = f’(a) (x – a) + f(a).

– Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua M (x0; y0) nên a là nghiệm của phương trình f’(a) (x – a) + f(a) = y0.

Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến.

Bài tập

Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số (C): . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A (2; -1)?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

.

Gọi tọa độ tiếp điểm là

với x0 ≠ 2. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là .

Do tiếp tuyến đi qua hai điểm A (2; -1) nên ta có phương trình

(vô nghiệm).

Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số

thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua điểm là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

và có hệ số góc k có dạng .

Để ∆ tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình

có nghiệm x.

Thế (2) vào (1), ta có

.

.

Với

.

Với

.

Với

.

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

Dạng 6: Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) đi qua điểm M

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

– Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm M (a; b).

– Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường thẳng

d: y = k (x – a) + b.

– Bước 3. Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình (*)

có nghiệm.

Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu.

Nhận xét

– Nếu f(x) là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc nhất trên bậc nhất thì hệ (*) có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến.

– Nếu f(x) là hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị thì nếu hệ (*) có nghiệm không phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu (cực đại) thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ thị (C).

Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = -x3 + 6x2 + 2 có đồ thị (C) và điểm M (m; 2). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C).

Tổng các phần tử của S bằng

A.

B.

C. 4

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi d là đường thẳng đi qua M (m; 2) và có hệ số góc k.

Khi đó phương trình của d là y = k (x – m) + 2.

phải có nghiệm phân biệt.

Từ hệ trên, ta có -x3 + 6x2 + 2 = (-3x2 + 12x) (x – m) + 2

Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau

Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0

.

Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

.

Vậy

nên tổng các phần tử bằng .

Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm A (1; a). Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có hàm số y=

xác định trên ℝ, .

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A (1; a).

Phương trình đường thẳng ∆: y = k (x – 1) + a.

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được

.

Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hại nghiệm phân biệt.

Xét hàm số

.

Ta có

.

Bảng biến thiên

Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) đi qua điểm M

Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì

. Mà a nguyên nên a = 1.

Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước

Phương pháp giải

Từ biểu thức của hàm ẩn, tìm các tính các giá trị y0 = f(x0) và f’(x0).

Áp dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ   x = x0.

Chú ý công thức đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K, u = u(x) là hàm số xác định và có đạo hàm trên K và có giá trị trên khoảng K. Khi đó (f(u))’ = u’. f’(u).

Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn 2 f (2x) + f (1 – 2x) = 12x2, ∀x ∊ ℝ. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 2x + 2

B. y = 4x – 6

C. y = 2x – 6

D. y = 4x – 2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta cần tính f (1), f’ (1).

Từ giả thiết 2 f (2x) + f (1 – 2x) = 12x2, ∀x ∊ ℝ. (*)

Chọn x = 0 và

, ta được .

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được 4. f’(2x) – 2. F’ (1 – 2x) = 24x, ∀x ∊ ℝ

Chọn x = 0 và

, ta được .

Vậy f (1) = 2; f’ (1) = 4 nên phương trình tiếp tuyến là y = 4 (x – 1) + 2 = 4x – 2.

Bài tập 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x)= f (f(x)), y = h(x) = f (x3 +2) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị lần lượt là (C1), (C2), (C3). Đường thẳng x = 2 cắt (C1), (C2), (C3) lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của (C1) tại A và của (C2) tại B lần lượt là y = 3x + 4 và y = 6x + 13. Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại C là

A. y = 24x – 23

B. y = 10x – 21

C. y = -12x + 49

D. y = 2x – 5

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Để giải bài toán, ta cần tính h’ (2) và h (2).

Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại A là

y = f’ (2). (x – 2) + f (2) = 3x + 4 ⇒

.

Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại B là

y = f’ (2). f’ (f (2) (x – 2) + f (f (2)) = f’ (2). f’ (10) (x – 2) + f (10) = 6x + 13.

.

Ta có h’ (x) = (f (x3 + 2))’ = 3x2. f’ (x3 + 2) nên h’ (2) = 12 f’ (10) = 24 và h (2) = f (10) = 25.

Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại C là

y = h’ (2) (x – 2) + h (2) = 24 (x – 2) + 25 = 24x – 23.

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên ℝ. Biết tiếp tuyến của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)= cùng tại điểm có hoành độ x0 = 1 có hệ số góc lần lượt là 12 và -3. Giá trị của f (1) bằng

A. 3

B. 4

C. 6

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

Từ giả thiết ta có f’ (1) = 12 và g’ (1) = -2, f(x) > 0, ∀x ∊ ℝ

.

Bài tập 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hám liên tục trên ℝ. Gọi ∆1, ∆2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)= x2. f (4x – 3) tại điểm có hoành độ x = 1. Biết hai đường thẳng ∆1, ∆2 vuông góc với nhau và ∆1 không song song với Ox, Oy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B. |f (1) | < 2

C. |f (1) | ≥ 2

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có g’(x) = (x2. f (4x – 3))’ = 2x. f (4x – 3) + 4x2. f’ (4x – 3).

Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến ∆1, ∆2 lần lượt là f’ (1) và g’ (1) = 2 f (1) + 4 f’ (1).

Theo giả thiết thì f’ (1). g’ (1) = -1 và f’ (1) ≠ 0.

⇔ f’ (1). (2 f (1) + 4 f’ (1)) = -1

.

Bài tập 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’ (x) trên ℝ thỏa mãn f (x3 + 3x + 1) = 2x – 1 với mọi x ∊ ℝ. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -3 là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x = -3, ta cần tính f (-3) và f’ (-3).

Với x = -1 suy ra f (-3) = -3.

Do f (x3 + 3x + 1) = 2x – 1 ⇒ (3x2 + 3) f’ (x3 + 3x + 1) = 2.

Với x = -1 ⇒ 6 f’ (-3) = 2 ⇒

.

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = f’ (-3) (x + 3) + f (-3) ⇔

.

Bài tập 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Gọi (C1), (C2) và (C3) lần lượt là đồ thị của các hàm số f(x), g(x) = f (x2) và h(x) = f (x3). Biết f (1) = 1 và tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của (C1), (C2) bằng -3. Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại điểm có hoành độ x = 1 là

A. y = -x + 2

B. y = -3x – 2

C. y = -x – 1

D. y = -3x + 4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta cần tính h (1), h’ (1).

Ta có g’ (x) = 2xf’ (x2), h’ (x) = 3x2f’ (x3).

Theo giả thiết, ta có f’ (1) + g’ (1) = -3 ⇔ f’ (1) + 2f’ (1) = -3 ⇔ f’ (1) = -1.

Do đó h’ (1) = 3 f’ (1) = -3 và h (1) = f (1) = 1.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3 (x – 1) + 1 = -3x + 4.

Bài tập 7: Cho hai hàm số f(x), g(x) đều có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f3 (2 – x) – 2 f2 (2 + 3x) + x2 g(x) + 36x = 0, với mọi x ∊ ℝ. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y =-x

B. y = 2x – 3

C. y = -2x +3

D. y = x

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có f3 (2 – x) – 2 f2 (2 + 3x) + x2 g(x) + 36x = 0, ∀x ∊ ℝ (1)

Thay x = 0 vào (1) ta có

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

-3f2 (2 – x). f’ (2 – x) – 12f (2 + 3x). f’ (2 + 3x) + 2x. g(x) + x2. g’ (x) + 26 = 0 (2).

Thay x = 0 vào (2) ta có -3f2 (2). f’ (2) – 12f (2). f’ (2) + 36 = 0 (3).

Với f (2) = 0 thay vào 3 thì 36 = 0 (vô lý).

Với f (2) = 2 thay vào (3) thì f’ (2) = 1 nên phương trình tiếp tuyến là y = x.

Bài tập 8: Cho hàm số y = f(x) có có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn [f(x)]3 + 6f(x) = -3x + 10 với mọi x ∊ ℝ. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 1 là

A. y = -x + 2

B. y = x

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta cần tính f (1), f’ (1).

Thay x = 1 vào đẳng thức [f(x)]3 + 6f(x) = -3x + 10, ta có

[f (1)]3 + 6f (1) = -3x + 10 ⇔ [f (1)]3 + 6f (1) – 7 = 0 ⇔ f (1) = 1.

Theo bài ra ta có [f(x)]3 + 6f(x) = -3x + 10 đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được

3.[f(x)]2. f’ (x) + 6f’ (x) = -3, ∀x ∊ ℝ.

Thay x = 1 vào ta có 3. [f (1)]2. f’ (1) + 6f’ (1) = -3.

Vì f (1) = 1 nên

.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

.

.

Dạng 8: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = f(x) mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ số góc k.

Phương pháp giải

Giả sử hai điểm A (xA; f (xA)), B (xB; f (xB)) (xA ≠ xB) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ số góc k thì xA, xB là hai nghiệm của phương trình f’ (x) = k.

Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa xA, xB. Từ đó giải quyết yêu cầu bài toán đưa ra.

Đối với hàm số

có tâm đối xứng là . Nếu A, B là hai điểm thuộc đồ thị tiếp tuyến tại A, B song song với nhau thì I là trung điểm AB.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị (H). Gọi A (x1; y1), B (x2; y2) là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

. Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

Vì x1 ≠ x2 nên x1 + x2 = 1.

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử

thì .

Gọi

là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta thấy

nên I là trung điểm của AB.

Ta có

Vì I là trung điểm của AB nên

.

Vậy

.

Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị (H). Gọi A (x1; y1), B (x2; y2) là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B có cùng hệ số góc k. Biết diện tích tam giác OAB bằng . Mệnh đề nào dưới dây đúng?

A. k < -9

B. -9 ≤ k < -6

C. -6 ≤ k < -3

D. -3 ≤ k < 0

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình

.

Suy ra 4kx2 – 4kx + k + 3 = 0 (*) nên

.

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử

thì .

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có

thì .

Ta có

.

.

(vì a > 0).

Với a = 3 ⇒ x1 = 2; x2 = -1 ⇒

.

Với a = 1 ⇒ x1 = 1; x2 = 0 ⇒ k = -3.

Vậy giá trị của k là k = -3;

.

Bài tập 3: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C). Gọi A (xA; yA), B (xB; yB) với xA > xB là các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và . Giá trị 2xA – 3xB bằng

A. 15

B. 90

C. -15

D. -90

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có y’ = 3x2 – 3.

Do tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y’ (xA) = y’ (xB)

⇔ 3x2A – 3 = 3x2B – 3 ⇔ xA + xB = 0 (do xA > xB).

Giả sử A (a; a3 – 3a + 1), B (-a; -a3 + 3a + 1) với a > 0 thuộc (C).

Khi đó

⇔ 4a6 – 24a4 + 40a2 – 1332 = 0 ⇔ a2 = 9 ⇒ a = 3 (vì a > 0)

⇒ xA = 3; xB = -2 nên 2xA – 3xB = 15.

Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác OMN bằng . Độ dài đoạn MN bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

. Gọi A (x1; y1), B (x2; y2).

Khi đó y’ (x1) = y’ (x2) ⇔ (x1 – 1)2 = (x2 – 1)2 ⇔ x1 + x2 = 2.

Do đó tâm đối xứng I (1; 1) của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.

Phương trình đường thẳng AB là y = k (x – 1) + 1.

Điều kiện để đường thẳng d: y = k (x – 1) + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương rình

có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1.

Ta có (*) ⇔ kx2 – 2kx + k – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 khi và chỉ khi

Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên

.

Suy ra

Ta có

Với

.

Với

.

Vậy trong cả hai trường hợp thì MN =

.

Dạng 9: Một số dạng toán khác

Bài tập 1: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x4 – 3x2 + 2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

y’’ = 12x2 – 6; y’’ = 0 ⇔

.

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn

.

Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c mà đồ thị có ba điểm cực trị (khi ab < 0) thì tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ nằm giữa hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn luôn cắt đồ thị tại hai điểm khác nữa.

Bài tập 2: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x4 – 3x2 + 2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằng ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

.

y’’ = 12x2 – 6; y’’= 0 ⇔

.

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì

.

Với a = -1 ⇒ A (-1; 0). Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 (x + 1).

Xét phương trình

nên B (0; 2), C (2; 6) ⇒ SOBC = 2 (loại).

Với a = 0 ⇒ A (0; 2). Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 nên

(thỏa mãn).

Với a = 1 ⇒ A (1; 0). Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = -2 (x – 1) nên B (0; 2), C (-2; 6) ⇒ SOBC = 2 (loại).

Vậy a = 0.

Bài tập 3: Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = m – 2 cắt tiệm cận đứng tại A (x1; y1), cắt tiệm cận ngang tại B (x2; y2) thỏa mãn x2 + y1 = -5. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 4

B. -2

C. -4

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = -2 và y = 1.

Ta có

.

Gọi

, tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là .

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là

và tiệm cận ngang là B (2m – 2; 1).

Theo gia thiết ta có

.

Vậy m1 + m2 = -2.

Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng

A. 16

B. 32

C. 8

D. 4

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = f(x) mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ số góc k.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thì IM. IN = IP. IQ = 8.

Ta có

.

=

.

Vậy

tức là MNPQ là hình vuông.

Bài tập 5: Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d: y = mx?

A. 27

B. 28

C. 26

D. 25

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử M (a; b) là tiếp điểm. Ta có y’ = 2x3 – 3x2 – 12x.

Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng d: y = mx nên a là nghiệm của phương trình 2x3 – 3x2 – 12x = m (*).

Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm.

Xét f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x có y’ = 6x2 – 6x – 12; y’ = 0 ⇔

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì -20 ≤ m ≤ 7.

Mà m ∊ ℤ nên m ∊ {-20, -19, …, 6, 7}.

Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.

Bài tập 6: Cho đường cong (C): H320 và điểm I (1; 1). Hai điểm A và B thuộc cùng một nhánh của đồ thị sao cho IA = IB. Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Khi tiếp tuyến tại A và B của (C) tạo với nhau một góc 150, giá trị biểu thức |k1 + k2| bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Do IA = IB nên k1. k2 = 1.

Ta có

.

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số

có tâm đối xứng là I. Cho A, B là hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số thỏa mãn IA = IB.

Gọi k1, k2 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại A, B.

Ta có

.

Tài liệu về phương trình tiếp tuyến

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo dục