Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số xuất hiện khá thường xuyên trong các đề thi toán học. Với nhiều mức độ, nhiều dạng khác nhau. Hiểu được sự khó khăn của học sinh khi bắt đầu tiếp xúc với các dạng bài này, bài học hôm nay VerbaLearn sẽ tổng hợp lại chi tiết các dạng toán và kiến thức liên quan đến GTLN, GTNN trong toán học và đặc biệt là chương trình toán lớp 12.
Bài viết liên quan
Contents
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu:
+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu:
Sơ đồ hệ thống hóa:
Thông thường đối với các bài giảng về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất chỉ có cơ bản vài dạng bài tập. Tuy nhiên đối với một bài viết tổng quan về chuyên đề như này thì VerbaLearn chia thành 13 dạng từ cơ bản, vận dụng cho đến vận dụng cao. Nếu các dạng bài tập quá dài bạn đọc có thể tải các tài liệu về để xem một cách dễ dàng hơn.
Ta thực hiện các bước sau:
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải theo các bước như sau:
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
– Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step
(có thể làm tròn để Step đẹp).
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.
A.
B.
C.
D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ
Ta có f’(x) = -2x5 + 2x4 – x + 1 = – (x – 1)(2x4 + 1)
Khi đó f’(x) = 0 ⇔ – (x – 1)(2x4 + 1) = 0 ⇔ x = 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
tại x = 1
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số liên tục trên khoảng (-∞; 1)
Ta có
Khi đó f’(x) = 0 ⇔ 8x2 – 12x – 8 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
A.
B.
C.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D = ℝ
Ta có
Do đó y’ = 0 ⇔ 2x2 – 2 = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
tại x = 1
Khi đó
và
Chú ý:
– Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì
– Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì
A. 16
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞)
⇒ Hàm số nghịch biến trên [2; 3].
Do đó
Vậy
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định D = [-2; 2]
Ta có
, x ∈ (-2; 2)
y’ = 0 ⇔
Vậy
A. 6
B. 10
C. 7
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số xác định và liên tục trên D = [0; 5]
Ta có y’ = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔
f (0) = m; f (1) = m – 1; f (5) = 175 + m
Dễ thấy f (5) > f (0) > f (1), ∀ m ∈ ℝ nên
Theo đề bài
⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6
A. m = 1; m = -2
B. m = -2
C. m = ±2
D. m = -1; m = 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]
Ta có
Do đó
⇔ 3m2 + m – 6 = 0 ⇔
A. m = 1
B. m = 0
C. m = 3
D. m = -1
Hướng dẫn giải
Chọn D
y’ = 0 ⇔
Vì y(-2) = -1; y(0) = 1 và theo bài ra
nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = -2; x = 0.
Do đó giá trị lớn nhất đạt tại y(-1) hoặc y(1 – 2m).
Ta có y(-1) = -3m + 3; y(1 – 2m) = (1 – 2m)2(m – 2) + 1
Trường hợp 1: Xét -3m + 3 = 6 ⇔ m = -1
Thử lại với m = -1, ta có y’ = 0 ⇔
nên m = -1 là một giá trị cần tìm.
Trường hợp 2: Xét
Vì
⇒ m – 2 2(m – 2)
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử thứ tự là M, m.
– Bước 2.
+) Tìm
+) Tìm
Trường hợp 1: M․m < 0 ⇒
= 0
Trường hợp 1: m ≥ 0 ⇒
= m
Trường hợp 1: M ≤ 0 ⇒
= |M| = -M
– Bước 3. Kết luận.
* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k. Thực hiện theo các bước sau:
– Bước 1. Tìm
– Bước 2. Xét các trường hợp
+) |A| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó
+) |B| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó
A. 48
B. 52
C. -102
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bảng biến thiên của hàm số y = x3 – 9x2 + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4]
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = |x3 – 9x2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] là
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9x2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng 48.
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M = -48 < 0 ⇒ min y = 48
Số phần tử của tập S là
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số
Ta có
Mặt khác
Do đó
– Trường hợp 1:
+) Với
(loại)
+) Với
(thỏa mãn)
– Trường hợp 2:
+) Với
(thỏa mãn)
+) Với
(loại)
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
A. 108
B. 120
C. 210
D. 136
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số g(x) = ¼ x4 – 14x2 + 48x + m – 30 trên đoạn [0; 2]
Ta có g’(x) = x3 – 28x + 48 ⇒ g’(x) = 0 ⇔
Để
⇒ m ∈ {0; 1; 2; …; 15; 16}
Tổng các phần tử của S là 136.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0 < m < 5
B. 10 < m < 15
C. 5 < m < 10
D. 15 < m < 20
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hàm số
liên tục trên tập xác định [-2; 2]
Ta có
Do đó
khi x = -2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng
Theo bài ra
= 18 ⇔ m = 15,5. Vậy 15
Thực hiện các bước sau
– Bước 1. Tìm
– Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của số y = |f(x) + g(m)| thì
M = max{|α + g(m)|; |β + g(m)|}≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |α + g(m)| = |β + g(m)|
Áp dụng bất đẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [α + g(m)]․[β + g(m)] ≥ 0
– Bước 3. Kết luận
khi
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt f(x) = x2 + 2x
Ta có f’(x) = 2x + 2
f’(x) = 0 ⇔ x = -1 ∈ [-2; 1]
f (-2) = 0; f (1) = 3; f (-1) = -1
Do đó
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
⇒ m = 3 (thỏa mãn)
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định D = [0; 2]
Đặt
, x ∈ D
Ta có
⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 1
f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = 1
Suy ra
Dấu bằng xảy ra ⇔
(thỏa mãn)
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi
A. 2
B. 5
C. 8
D. 9
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có min f (x, m) ≤ f (0, m) = 5, ∀ m ∈ ℝ
Xét m = 2 ta có f (x, 2) = |x2 – 2x + 5| + 2x ≥ x2 – 2x + 5 + 2x ≥ 5, ∀ x ∈ ℝ
Dấu bằng xảy ra tại x = 0. Suy ra min f (x, 2) = 5, ∀ x ∈ ℝ
Do đó
⇒ max (min f (x, m)) = 5, đạt được khi m = 2
Tổng quát: y = |ax2 + bx + c| + mx
Trường hợp 1: a․c > 0 ⇒ max (miny) = c
Đạt được khi m = -b
A. 7
B. -7
C. 0
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương trình x2 – 4x – 7 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2
– Trường hợp 1: Nếu m ≥ 0
Ta có min f (x, m) ≤ f (x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀ m ∈ ℝ
Xét m = 0 ta có f (x, 0) = |x2 – 4x – 7| ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ
Dấu bằng xảy ra tại x = x1, 2. Suy ra min f (x, m) = 0, ∀ x ∈ ℝ
Do đó
⇒ max (min f (x, m)) = 0, đạt được khi m = 0
– Trường hợp 2: Nếu m < 0
Ta có min f (x, m) ≤ f (x2, m) = mx2 < 0, ∀ m ∈ ℝ ⇒ max (min f (x, m)) < 0
So sánh cả hai trường hợp thì max (min f (x, m)) = 0 khi m = 0
Trường hợp 2: a․c < 0 ⇒ max (miny) = 0
Đạt được khi m = 0
Biết f (-4) > f (8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằng
A. 9
B. f (-4)
C. f (8)
D. -4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có f(x) ≥ f (-4) ∀ m ∈ (-∞; 0] và f(x) ≥ f (8), ∀ m ∈ (0; +∞)
Mặt khác f (-4) > f (8) suy ra x ∈ (-∞; +∞) thì f(x) ≥ f (8)
Vậy
Khẳng định đúng là
A.
; không tồn tại
B.
;
C.
;
D.
; không tồn tại
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên thì
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1; 3]. Giá trị của M – m bằng
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị suy ra
M = f (3) = 3; m = f (2) = -2
Vậy M – m = 5
Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0. Khi đó giá trị của x02 – 2x0 + 2019 bằng bao nhiêu?
A. 2018
B. 2019
C. 2021
D. 2022
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0 = 2
Vậy x02 – 2x0 + 2019 = 2019
Ghi nhớ: Điều kiện của các ẩn phụ
– Nếu
⇒ -1 ≤ t ≤ 1
– Nếu
⇒ 0 ≤ t ≤ 1
– Nếu
⇒ 0 ≤ t ≤ 1
Nếu t = sinx ± cosx =
A.
; m = -4
B. M = 4; m = 0
C. M = 0;
D. M = 4;
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có y = 2cos2x + 2sinx = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2
Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2
Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (-1; 1)
Vì
nên ; m = -4
A.
B.
C.
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t = |cosx| ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được
với 0 ≤ t ≤ 1
Vì
, ∀ t ∈ [0; 1] nên
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng
A.
B. M = 3
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t = cos2x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được
với t ∈ [0; 1]
Ta có
Vì
nên
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét
Đặt t = sinx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1, ta được
với t ∈ [-1; 1]
Ta có
Vì
nên
Hay
Mặt khác
Do đó
Dấu bằng đạt được khi
A.
B.
C. 1
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có P2 = 6 + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx․cosx|
Đặt t = sinx + cosx =
với
Xét y = P2 = 6 + 4t + 2 |2t2 + 2t – 1| =
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t = sinx ⇒ cos2x = 1 – 2sin2x = 1 – 2t2 , với x ∈ [0; π] ⇒ t ∈ [0; 1]
Ta được f(t) = -2t2 + t + 1 với t ∈ [0; 1]
Ta có f’(t) = -4t + 1 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (0; 1)
Do f (0) = 1;
; f (1) = 0 nên
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
A.
B. -5
C.
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do
Đặt
Khi đó y = 4t3 + 6t – 1 với t ∈
Vì y’ = 12t2 + 6 > 0, ∀ t nên hàm số đồng biến trên
Do đó
A. 2;
B. 4; 2
C. 4;
D. 4;
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định D = [1; 9]
Ta có
⇒ x = 5 ∈ (1; 9)
Vì y (1) = y (9) =
; y (5) = 4 nên max y = 4; min y = .
Nhận xét: với hàm số
(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì
Suy ra
dấu bằng luôn xảy ra.
A.
B. -2
C. -4
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tập xác định của hàm số là D = [-1; 3]
Đặt
Do
, ∀ x ∈ [-1; 3], từ đó suy ra -2 ≤ t ≤ 2
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn [-2; 2].
Ta có g’(t) = t + 1 = 0 ⇔ t = -1 ∈ (-2; 2)
Lại có g (-2) = -2; g (2) = 2; g (-1) =
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng
Nhận xét: Với hàm số
(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì
A. 3
B.
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Nếu y = 0 thì P = 1 (1)
Nếu y ≠ 0 thì
Đặt
, khi đó
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có P = f(t) ≥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra có P = f(t) ≥
⇒ min P =
A.
và 1
B. 0 và 1
C.
và 1
D. 1 và 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Đặt t = xy ta được
Vì x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ t ≥ 0
Mặt khác
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên
Xét hàm số
xác định và liên tục trên
Ta có
với ∀ t ∈
⇒ Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn
Do đó
A. 3
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 ⇒ x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0
Đặt t = x + 2y
(12 + 22)․[(x – 3)2 + (y – 1)2] ≥ [(x – 3) + (2y – 2)]2
Ta được
Xét
Vì f (0) = 4; f (10) =
; f (1) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1.
Tổng x0 + y0 + z0 bằng
A. 3
B. 1
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Đặt x + y + x = t. Khi đó
Ta có
Bảng biến thiên
Suy ra
. Dấu “=” xảy ra
Do đó
A. 8
B. 0
C. 12
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn B
Với điều kiện bài toán x, y > 0 và x2 – xy + 3 = 0
Lại có
Từ đó
Xét hàm số
Suy ra hàm số đồng biến trên
⇒ f (1) ≤ f(x) ≤
⇒ -4 ≤ f(x) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + (-4) = 0
A.
B.
C.
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thật vậy
đúng do ab ≥ 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng bất đẳng thức trên
Đặt
. Xét hàm số trên đoạn [1; 3]
f’(t) = 0 ⇔ t4 – 2t3 – 24t2 – 2t + 100 = 0
⇔ (t – 2)(t3 – 24t – 50) = 0 ⇔ t = 2 do t3 – 24t – 50 < 0, ∀ x ∈ [1; 3]
Bảng biến thiên
Suy ra
khi và chỉ khi
Thực hiện theo một trong hai cách
Cách 1:
Bước 1. Đặt t = u(x).
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).
– Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t).
– Bước 3. Kết luận.
Cách 2:
– Bước 1. Tính đạo hàm y’ = u’(x)․f’(u(x)).
– Bước 2. Tìm nghiệm y’ = u’(x)․f’(u(x)) = 0
– Bước 3. Lập bảng biến thiên
– Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x), y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)…
Hàm số y = f (|x – 1|) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng
A. f (-2)
B. f (2)
C. f (1)
D. f (0)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t =|x – 1|, ∀ x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [0; 1]
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất
A. f (-2)
B. f (2)
C. f (1)
D. f (0)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t = 2 – x2. Từ x ∈
⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 – x2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [0; 2]
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x + 3) trên đoạn [0; 2] là
A. 64
B. 65
C. 66
D. 67
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hàm số có dạng f(x) = ax4 + bx2 + c. Từ bảng biến thiên ta có
⇒ f(x) = x4 – 2x2 + 3
Đặt t = x + 3, x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [3; 5]
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) đồng biến trên đoạn [3;5].
Do đó
Lập hàm số g(x) = f(x) – x2 – x.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g(-1) > g(1)
B. g(-1) = g(1)
C. g(1) = g(2)
D. g(1) > g(2)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có g’(x) = f’(x) – 2x – 1
Từ đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 ta có g’(x) = 0
⇔ f’(x) = 2x + 1 ⇒
Bảng biến thiên
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn [-1; 2]. Đường thẳng y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua các điểm A(-1; -1), B(1; 3), C(2; 5) nên đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 cắt nhau tại 3 điểm.
A. t = 2s
B. t = 5s
C. t = 1s
D. t =3s
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có v(t) = s’(t) = 6t – 3t2 ⇒ v(t) = -3(t – 1)2 + 3 ≤ 3, ∀ t ∈ ℝ
Giá trị lớn nhất của v(t) = 3 khi t = 1.
A. 180 (m/s)
B. 36 (m/s)
C. 144 (m/s)
D. 24 (m/s)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có v(t) = s’(t) = -t2 + 12t
v’(t) = -2t + 12 = 0 ⇔ t = 6
Vì v (6) = 36; v (0) = 0; v (7) = 35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).
A. 4 giờ
B. 1 giờ
C. 3 giờ
D. 2 giờ
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét hàm số
(t > 0)
Bảng biến thiên
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
A. 75 triệu đồng
B. 85 triệu đồng
C. 90 triệu đồng
D. 95 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi x (m) là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x (m) và h (m) là chiều cao bể
Bể có thể tích bằng
Diện tích cần xây
Xét hàm
Bảng biến thiên
Do đó
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150 × 600.000 = 90.000.000 đồng.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là OA = 4dm
Thể tích của hình nón
với 0
Ta có
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là
A.
; h = 8m
B. R = 1m; h = 2m
C. R = 2m;
D. R = 4m;
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
Diện tích toàn phần của thùng phi là
Xét hàm số
với R ∈ (0; +∞)
Ta có
f’(R) = 0 ⇔ R = 1
Bảng biến thiên
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R = 1 ⇒ h = 2
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R = 1m; h = 2m
A. 120 triệu đồng
B. 164,92 triệu đồng
C. 114,64 triệu đồng
D. 106,25 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt AM = x ⇒ BM = 4 – x ⇒
, x ∈ [0; 4]
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là
(đơn vị: triệu đồng)
Ta có
Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng f(x) = g(m)
– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D
– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) sao cho đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)
– Bước 4. Kết luận
Chú ý:
+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình f(x) = g(m) có nghiệm khi và chỉ khi
+) Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng y = g(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.
A. 100
B. 101
C. 102
D. 103
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện x ≥ -1
Đặt
Ta được phương trình 2t = t2 – 1 + m ⇔ m = -t2 + 2t + 1
Xét hàm số f(t) = -t2 + 2t + 1, t ≥ 0
f’(t) = -2t + 2 = 0 ⇔ t = 1
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m ≤ 2 ⇒ -100 ≤ m ≤ 2
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn
A .T = 4
B.
C. T = 3
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
Xét hàm số
trên đoạn
Vì
nên t ∈ [1; 3]
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m(t + 1) = t2 – 2 có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] ⇔
có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] (1)
Xét hàm số
trên đoạn [1; 3]
, ∀ t ∈ [1; 3] khi hàm số đồng biến trên đoạn [1; 3]
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì
Vậy
⇒ T = 4
A. m0 ∈ (-20; -15)
B. m0 ∈ (-12; -8)
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Từ (1) suy ra y = 2 – x thay vào (2) ta được (2) ⇒ x4 + (2 – x)4 = m (3)
Xét hàm số f(x) = x4 + (2 – x)4 có tập xác định D = ℝ
f’(x) = 4x3 – 4(2 – x)3 ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x3 = (2 – x)3 ⇔ x = 2 – x ⇔ x = 1
Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực
Dựa vào bảng biến thiên ta được m ≥ 2 ⇒ m0 = 2 ⇒
Thực hiện theo các bước sau
Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≤ max f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≤ min f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≥ min f(x)
+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≥ max f(x)
A. m < 5
B. m ≤ -3
C. m ≤ 1
D. m ≥ 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bất phương trình đã cho tương đương với
Xét hàm số
trên khoảng (-∞; 1)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình
có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) thì m ≤ -3
A. 1
B. 2020
C. 2019
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
, với x ∈ [-1;1] ⇒ t ∈ [0;1]
Bất phương trình đã cho trở thành t3 – t2 + 1 – m ≤ 0 ⇔ m ≥ t3 – t2 + 1 (1)
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1]
Xét hàm số f(t) = t3 – t2 + 1 ⇒ f’(t) = 3t2 – 2t
f’(t) = 0 ⇔
Vì f (0) = f (1) = 1;
nên
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1] khi và chỉ khi m ≥ 1
Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m ∈ {1; 2; 3; …; 2019}
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Bất phương trình
có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi
A. m ≤ 7
B. m ≥ 7
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét hàm số
trên đoạn [-1; 3]
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi x = 3
Suy ra
tại x = 3 (1)
Mặt khác dựa vào đồ thị của f(x) ta có
tại x = 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
tại x = 3
Vậy bất phương trình
có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi ⇔ m ≤ 7
Bộ tài liệu về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số cực hay giúp bạn nắm vững chuyên đề này và tiếp xúc với nhiều dạng bài nhất có thể. Hãy tìm một tài liệu phù hợp với bản thân và nghiên cứu.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Bảo Vương |
Số trang | 66 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị của nó.
– Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
– Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b).
– Dạng 4. Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán thực tế.
– Dạng 5. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
– Dạng 6. Bài toán GTLN-GTNN liên quan đến đồ thị đạo hàm.
– Dạng 7. Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán đại số.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Lê Bá Bảo |
Số trang | 71 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng toán 1: Tìm GTLN GTNN trên khoảng (nửa khoảng – đoạn)
– Dạng toán 2: Max min hàm nhiều biến
– Dạng toán 3: Bài toán thực tế – tối ưu
– Dạng toán 4: Phương trình – bất phương trình
– Dạng toán 5: Bài toán tham số
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Giáo viên THPT Đầm Dơi |
Số trang | 130 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: Tìm GTLN GTNN của hàm số theo công thức
– Dạng 2: Tìm GTLN GTNN của hàm nhiều biến
– Dạng 3: Bài toán ứng dụng
– Dạng 4: Ứng dụng GTLN GTNN vào tìm số nghiệm của phương trình và bất phương trình
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Nguyễn Vương |
Số trang | 82 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
– Tìm m để GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện K nào đó.
– Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (Bài toán chứa tham số).
– Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp.
– Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán thực tế.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Trần Minh Ngọc |
Số trang | 17 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của các sở giáo dục, các trường phổ thông năm 2020 thường có bài toán liên quan đến GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Để giải quyết được các dạng toán này các em cần ghi nhớ bài toán tổng quát trong tài liệu.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Trung tâm luyện thi Đại Học Amsterdam |
Số trang | 65 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Lý thuyết giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.
– Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
– Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng nửa khoảng.
– Dạng 3: Xác định tham số m để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện cho trước.
– Dạng 4: Các bài toán thực tế.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | |
Số trang | 35 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Tổng hợp trắc nghiệm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
– Phần trắc nghiệm
– Phần đáp án.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | |
Số trang | 36 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng.
– Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn.
– Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b].
– Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN.
– Dạng 5: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị – bảng biến thiên.
– Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
– Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác.
– Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến.
– Dạng 9:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x).
– Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hợp khi biết đồ thị của hàm số y f ‘(x).
– Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế.
– Dạng 12: Dạng 12. Tìm m để F (x;m) = 0 có nghiệm trên tập D.
– Dạng 13: Tìm m để bất phương trình chứa tham số m có nghiệm trên tập D.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Đặng Việt Đông |
Số trang | 91 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: GTLN, GTNN liên quan hàm số khi biết BBT, đồ thị
– Dạng 2: GTLN, GTNN hàm liên kết khi biết BBT, đồ thị
– Dạng 3: GTLN, GTNN hàm số có tham số không chứa giá tuyệt đối
– Dạng 4: GTLN, GTNN hàm trị tuyệt đối chứa tham số.
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | |
Số trang | |
Lời giải chi tiết |
Mục lục tài liệu:
– Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể
– Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số
– Dạng 3: Bài toán max đạt min
– Dạng 4: Bài toán min đạt min
– Các bài tập vận dụng – vận dụng cao trong các đề thi
Bài viết tổng hợp chi tiết về các dạng bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số. Mong rằng qua bài học hôm nay, bạn đọc có thể nắm vững chi tiết về các dạng bài tập mà VerbaLearn Math vừa giới thiệu. Nếu có bất kì thắc mắc gì từ bài học, bạn có thể liên hệ với chúng tôi bằng cách để lại bình luận xuống phía bên dưới nhé.
Là một cử nhân tài chính nhưng lại đam mê viết lách, năm 2019 tôi thành lập website VerbaLearn để phân tích các kiến thức về tài chính, marketing và các phương pháp kiếm tiền online. Mong những kinh nghiệm từ bản thân tôi sẽ giúp đỡ bạn trên hành trình tự do tài chính.