Tọa độ hóa hình học không gian | Daohongdonvenus.com

Phương pháp tọa độ hóa hình không gian là tài liệu hữu ích, hướng dẫn sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian cổ điển.

Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm: Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Phương pháp tọa độ hóa hình không gian

I. Các công thức tọa độ hóa hình không gian

1. Vectơ trong không gian

Trong không gian cho các vect overrightarrow{u_{1}}=left(x_{1}, y_{1}, z_{1}right), overrightarrow{u_{2}}=left(x_{2}, y_{2}, z_{2}right) và số k tùy hat{y}

begin{array}{l}

overrightarrow{u_{1}}=overrightarrow{u_{2}} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}

x_{1}=x_{2} \

y_{1}=y_{2} \

z_{1}=z_{2}

end{array}right. \

overrightarrow{u_{1}} pm overrightarrow{u_{2}}=left(x_{1} pm x_{2}, y_{1} pm y_{2}, z_{1} pm z_{2}right)

end{array}

k overrightarrow{u_{1}}=left(k x_{1}, k y_{1}, k z_{1}right)

– Tích có hướng: overrightarrow{u_{1}} cdot overrightarrow{u_{2}}=x_{1} cdot x_{2}+y_{1} cdot y_{2}+z_{1} cdot z_{2}

– Hai vectơ vuông góc nhau Leftrightarrow overrightarrow{u_{1}} cdot overrightarrow{u_{2}}=0 Leftrightarrow x_{1} cdot x_{2}+y_{1} cdot y_{2}+z_{1} cdot z_{2}=0

left|overrightarrow{u_{1}}right|=sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}

– Gọi varphi là góc hợp bởi hai vectơ left(0^{circ} leqslant varphi leqslant 180^{circ}right)

begin{aligned}

cos varphi=cos left(overrightarrow{u_{1}}, overrightarrow{u_{2}}right)=frac{overrightarrow{u_{1}} cdot overrightarrow{u_{2}}}{left|overrightarrow{u_{1}}right| cdotleft|overrightarrow{u_{2}}right|}=frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}}{sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} cdot sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}} \

overrightarrow{A B}=left(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A}right) \

A B=sqrt{left(x_{B}-x_{A}right)^{2}+left(y_{B}-y_{A}right)^{2}+left(z_{B}-z_{A}right)^{2}}

end{aligned}

– Tọa độ các điểm đặc biệt:

– Tọa độ trung điểm I của A B:Ileft(frac{x_{A}+x_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}, frac{z_{A}+z_{B}}{2}right)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác A B C:

Gleft(frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}, frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}right.),

– Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Gleft(frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}, frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4}, frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4}right)

Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc của hai vectơ xác định bởi

vec{u}=left[overrightarrow{u_{1}}, overrightarrow{u_{2}}right]=left(left|begin{array}{ll}

y_{1} & z_{1} \

y_{2} & z_{2}

end{array}right|,left|begin{array}{cc}

z_{1} & x_{1} \

z_{2} & x_{2}

end{array}right|,left|begin{array}{ll}

x_{1} & z_{1} \

x_{2} & z_{2}

end{array}right|right)

– Một số tính chất của tích có hướng

star vec{a}vec{b} cùng phương Leftrightarrow[vec{a}, vec{b}]=overrightarrow{0}

A, B, C thẳng hàng Leftrightarrow[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A C}]=overrightarrow{0}

Ba vectơ vec{a}, vec{b}, vec{c} đồng phẳng Leftrightarrow[vec{a}, vec{b}] cdot vec{c}=0

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Leftrightarrow[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A C}] cdot overrightarrow{A D} neq overrightarrow{0}

star|[vec{a}, vec{b}]|=|vec{a}| cdot|vec{b}| cdot sin (vec{a}, vec{b})

Các ứng dụng của tích có hướng

star

S_{A B C D}=|[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A D}]|

starDiện tích tam giác:S_{A B C}=frac{1}{2}|[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A C}]|

*Thể tích khối hộp:

V_{A B C D cdot A^{prime} B^{prime} C^{prime} D^{prime}}=left|[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A D}] cdot overrightarrow{A A^{prime}}right|

*Thể tích tứ diện:

V_{A B C D}=frac{1}{6}|[overrightarrow{A B}, overrightarrow{A C}] cdot overrightarrow{A D}|

2. Phương trình mặt phẳng

– Phương trình tổng quát(alpha): a x+b y+c z+d=0 với left(a^{2}+b^{2}+c^{2} neq 0right).

– Phương trình mặt phẳng (alpha) qua Mleft(x_{0}, y_{0}, z_{0}right) và có vectơ pháp tuyến vec{n}=(a, b, c)

(alpha): aleft(x-x_{0}right)+bleft(y-y_{0}right)+cleft(z-z_{0}right)=0

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (alpha) qua A(a, 0,0) ; B(0, b, 0) ; C(0,0, c)

(alpha): frac{x-x_{0}}{a}+frac{y-y_{0}}{b}+frac{z-z_{0}}{c}=1, quadvới a, b, c neq 0

– Nếu vec{n}=(a, b, c) là vectơ pháp tuyến của (alpha) thì k vec{n}, k neq 0 cũng là vectơ pháp tuyến của (alpha). Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể (hoặc b hoặc c) và tính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a: b: c.

3. Góc

Góc giũa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (alpha) có vectơ pháp tuyến là overrightarrow{n_{alpha}}, mặt phẳng (beta) có vectơ pháp tuyến overrightarrow{n_{beta}}, khi đó góc giữa (alpha)(beta) được tính bằng

cos ((alpha),(beta))=left|cos left(overrightarrow{n_{alpha}}, overrightarrow{n_{beta}}right)right|=frac{left|overrightarrow{n_{alpha}} cdot overrightarrow{n_{beta}}right|}{left|overrightarrow{n_{alpha}}right| cdotleft|overrightarrow{n_{beta}}right|}
Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d_{1}d_{2} có các vectơ chỉ phương là overrightarrow{u_{1}}overrightarrow{u_{2}}, khi đó góc giữa d_{1}d_{2}  tính bằng

cos left(d_{1}, d_{2}right)=left|cos left(overrightarrow{u_{2}}, overrightarrow{u_{2}}right)right|=frac{left|overrightarrow{u_{1}} cdot overrightarrow{u_{2}}right|}{left|overrightarrow{u_{1}}right| cdotleft|overrightarrow{u_{2}}right|}

………….

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết